Как найти одну сторону треугольника если известны две другие
Треугольник — это одна из основных геометрических фигур, изучаемых в математике. Часто возникает задача нахождения стороны треугольника, когда известны две другие стороны и угол между ними. В этой статье мы расскажем, как найти третью сторону треугольника с помощью теоремы косинусов и приведем примеры решения задач.
- Теорема косинусов: основные положения
- C² = a² + b² — 2ab * cos(C)
- Примеры решения задач с использованием теоремы косинусов
- Пример 1
- C² = a² + b² — 2ab * cos(C)
- C² = 5² + 7² — 2 * 5 * 7 * cos(60°)
- Cos(60°) = 0,5
- C² = 25 + 49 — 2 * 5 * 7 * 0,5 = 74 — 35 = 39
- C = √39 ≈ 6,24 см
- Пример 2
- C² = a² + b² — 2ab * cos(C)
- C² = 8² + 10² — 2 * 8 * 10 * cos(120°)
- Cos(120°) = -0,5
- C² = 64 + 100 — 2 * 8 * 10 * (-0,5) = 164 + 80 = 244
- C = √244 ≈ 15,62 см
- Выводы и заключение
- FAQ
Теорема косинусов: основные положения
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора и позволяет находить стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними. Согласно теореме косинусов, квадрат длины третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух известных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Математически это можно записать следующим образом:
C² = a² + b² — 2ab * cos(C)
где a, b и c — стороны треугольника, C — угол между сторонами a и b.
Примеры решения задач с использованием теоремы косинусов
Рассмотрим несколько примеров решения задач на нахождение третьей стороны треугольника по двум известным сторонам и углу между ними.
Пример 1
Дан треугольник со сторонами a = 5 см, b = 7 см и углом C = 60° между ними. Найти сторону c.
Решение:
- Воспользуемся формулой теоремы косинусов:
C² = a² + b² — 2ab * cos(C)
- Подставим известные значения:
C² = 5² + 7² — 2 * 5 * 7 * cos(60°)
- Вычислим косинус угла C:
Cos(60°) = 0,5
- Продолжим вычисления:
C² = 25 + 49 — 2 * 5 * 7 * 0,5 = 74 — 35 = 39
- Найдем длину стороны c:
C = √39 ≈ 6,24 см
Ответ: сторона c ≈ 6,24 см.
Пример 2
Дан треугольник со сторонами a = 8 см, b = 10 см и углом C = 120° между ними. Найти сторону c.
Решение:
- Воспользуемся формулой теоремы косинусов:
C² = a² + b² — 2ab * cos(C)
- Подставим известные значения:
C² = 8² + 10² — 2 * 8 * 10 * cos(120°)
- Вычислим косинус угла C:
Cos(120°) = -0,5
- Продолжим вычисления:
C² = 64 + 100 — 2 * 8 * 10 * (-0,5) = 164 + 80 = 244
- Найдем длину стороны c:
C = √244 ≈ 15,62 см
Ответ: сторона c ≈ 15,62 см.
Выводы и заключение
Теорема косинусов является важным инструментом в геометрии, позволяющим находить стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними. Используя формулу теоремы косинусов, можно решать различные задачи на нахождение третьей стороны треугольника и применять полученные знания в различных областях, таких как строительство, архитектура и другие.
FAQ
- Как найти третью сторону треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними?
- Что такое теорема косинусов и для чего она используется?
- Как применять теорему косинусов для решения задач на нахождение сторон треугольника?
